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推荐:卡特兰数总结

定义:

 

f(i)表示,从(0,0)出发,到(i,i),每次只能向上或者向右走,并且不越过红线的方案数。

这个图片的点上的数字,其实告诉我们f[i],就可以根据这个n方dp得到。

其实是由这个阶梯推过来的。

也是之后的经典模型

公式:

来自百度百科

定义式:

为什么是对的?考虑第一次走到(y=x)的情况大概图长这样:中间空出一行为了强制必须向上走

 

这个式子是n^2的,太low了。

h(n)=c(2n,n)-c(2n,n-1)(n=0,1,2,...)

这个式子推法:

从A到目标点C(n,n)的方案数有:

C(2*n,n),即从2*n步中,选择n步向上走的方案数。

那么,我们不能超过绿线y=x,就意味着不能触碰红线y=x+1

发现,刚才每一个非法的方案数中,如果把碰到红线和碰到红线之前的路径,关于红线对称一下,碰到红线之后的路径不用管,

一定是一个从B点,即(-1,1)出发到C的方案。

黄线是一个不合法的方案,黄线在红线之前的部分,对称成灰色的路径,再和红色之后的黄色路径拼在一起,就是一个从B开始到C的路径。

发现,这个还是 一 一对应的!!

从B到C的方案是:C(2*n,n-1)

所以,从A到C的合法方案,就是f[n]=C(2*n,n)-C(2*n,n-1)

 

h(n)=C(2n,n)/(n+1) (n=0,1,2,...)

这个把上面的公式组合数展开化简即可。

 

模型与例题

答案通常与卡特兰数第k项直接相关。

1.火车进栈

 这是一个卡特兰数经典入门题目。

直接输出h[n]

我们假设最后出栈的是k

那么k之前的所有数都进栈出栈了。k之后所有数也都进栈出栈了

k两边就是两个互相独立的子问题。

方案是:a[n-k]*a[k-1],又因为k可以取到1~n的任何数。

所以根据加法原理,a[n]=a[n-1]*a[1]+a[n-2]*a[2]+...a[1]*a[n-1]

就是卡特兰数的递推式子了。

也可以这样想,一节车厢进栈,代表向右走,出栈,代表向左走,

因为不存在一个时刻,出栈的总次数大于进栈的总次数。

恰好和从(0,0)到(n,n)不越过y=x方案数一致。

 

这个模型也证明了卡特兰数的两个公式其实是统一的。

 

2.合法括号序列 牛客网NOIP赛前集训营-普及组(第二场)

长度为2k的合法括号序列有 h[k]个。

证明:把左括号抽象为向右走,右括号抽象为向上走,

然后同上可以证明了。

其实是火车进栈的抽象版本。

 

牛客9.16普及组T4

 

3.0/1走

 即每次向右走,或者向上走,不越过y=x的方案数。

这就是卡特兰数基本定义模型了。

对于类似必须越过y=x至少一次,就是不合法的C(2n,n-1)了

对于恰好越过一次,其实也是C(2n,n),相当于第一次碰到绿线之后的路径关于绿线对称过去,还是一样的。

但是可能边界考虑减一减。

 

4.凸包三角形划分。

 留坑。

 

5.n个点二叉树不同形态方案数。

 假设根左子树大小为k-1个,右子树大小为n-k个

那么,这种情况下的方案数就是a[k-1]*a[n-k]

因为k可以取1~n,所以,

就是之前的a[n]=a[n-1]*a[1]+a[n-2]*a[2]+...a[1]*a[n-1]了。

 

6.阶梯

 

用n个矩形完全不重叠覆盖n阶阶梯方案数。

发现,左下角一定会被一个矩形覆盖(废话)

这个矩形假设左上有k-1个矩形,右下有n-k个矩形,(或者说分成了两个子问题的小阶梯形)

那么,这种情况下的方案数就是a[k-1]*a[n-k]

因为k可以取1~n,所以,

就是之前的a[n]=a[n-1]*a[1]+a[n-2]*a[2]+...a[1]*a[n-1]了。

 

[AHOI2012]树屋阶梯

 

总结:

①会推:那就推。

一般从两个方面的模型考虑:

1.是否可以得出这个式子。、

2.是否能够转化成这个图的模型问题。

 

②不会?那就打表找规律咯。。。。

记住前几项:1,1,2,5,14,42(第0项开头)

然后可以再尝试证明、

 

 

另类:施罗德数

转载于:https://www.cnblogs.com/Miracevin/p/9657103.html