对偶理论是线性规划中最重要的理论之一，是深入了 解线性规划问题结构的重要理论基础。同时，由于问题提 出本身所具有的经济意义，使得它成为对线性规划问题系 统进行经济分析和敏感性分析的重要工具。那么，对偶问 题是怎样提出的，为什么会产生这样一种问题呢？

**引例：**两个家具制造商间的对话如下：

王老板生产桌子和椅子两种产品，桌子的单价是50元，生产一张桌子需要4个木工工时，2个油漆工工时，椅子的单价为30元，生产一把椅子需要3个木工工时，1个油漆工工时，王老板总计有120个木工工时和50个油漆工工时。

此时，王老板考虑两个问题：第一个自己用木工和油漆工最多能赚多少钱，第二个把木工和油漆工出租出去不能低于自己赚的钱（不吃亏原则），并且出租的价格要尽可能低，使得李老板可以接受（竞争性原则）

家具生产模型称为原始线性规划问题，也称为原问题，记为（P，Primal）。该模型解决的问题是，如何利用有限的资源最大化生产收益。

资源出租模型称为对偶线性规划问题，也称为对偶问题，记为（D，Dual）。该模型解决的问题是，如何进行资源最小化定价（竞争性原则），使得资源售卖的收益不低于自己生产所获的最大生产收益（不吃亏原则）。y为对偶变量，也称为影子价格。

这里我们仔细观察一下资源出租模型，第一条约束是讲售卖4单位木工工时和2单位油漆工时的收益要大于50，50刚好是生产一张桌子的收益，生产一张桌子正好是需要4单位木工工时和2单位油漆工工时。第一条约束就是说，生产1个桌子所需的资源的售卖收益，要大于生产1个桌子的销售收益。第二条约束，生产1个椅子所需的资源售卖收益，要大于生产1个椅子的销售收益，约束条件的目标就是要求不吃亏。目标函数是希望资源出售的总价最低，目标就是满足市场竞争性原则。

那么王老板按照资源出租模型（对偶规划问题），求解就可以获得其出租木工、油漆工资源的价格，这样既能保证不吃亏（出租资源的租金收入并不低于自己生产时的销售收入），又是的出租价格对李老板有极大的吸引力（李老板所付出的总租金W最少）。本质上，是一种“共赢”。

原问题和对偶问题的转换：

我们以对称型对偶问题为例（非对称型问题可以转化为对称型问题），来讲解对偶定理。