与碰撞试验比较,碰撞仿真能够大量地减少成本,如时间、经济等。列车纵向碰撞动力学主要分析列车在纵向冲击力作用下的各种动态响应,既需要保证仿真模拟的准确性,又能快速建立列车动力学模型。

Pugi[1]等建立了某货运列车纵向动力学模型,实现快速分析列车的编组、制动系统等因素对列车纵向冲击的的影响;Ansari[2]等对纵向动力学模型中的非线性模型的参数进行了研究,分析了空车位置对整列车纵向碰撞的影响,并着重研究了钩缓装置性能、冲击速度等因素对列车纵向碰撞的影响;Mohammadi[3]等基于列车纵向动力学模型,研究了机车所处位置对紧急制动工况下纵向碰撞的影响,指出机车不同的位置将会显著影响车辆间的相互作用,且车钩力变化明显;田红旗[4]等人用第二类Lagrange方程建立了列车纵向撞击动力学方程,分析了列车互撞过程中的规律和动态响应,该动力学模型为列车碰撞研究奠定了理论基础;李健[5]等通过纵向碰撞模型仿真分析,发现列车端部的吸能结构能够很好地减缓纵向冲击;胡万华[6]等初步探讨了列车纵向碰撞的数学模型的建立与数值算法,并利用该数学模型进行了仿真分析,求出的加速度和撞击力与试验结果基本相符;张锁怀[7]建立了考虑阻尼及摩擦在内的列车冲击动力学方程,并进行多编组仿真计算,结果显示编组会对列车纵向冲击力产生影响,缓冲器的吸能量也会受到很大影响。

本文以某型列车为研究对象,推导了列车纵向碰撞的运动微分方程,建立了列车的纵向碰撞动力学模型,在matlab环境中编制了钩缓装置、吸能装置和端部结构作用力子程序,并采用newmark-β法对动力学方程组进行求解,最后通过实例进行了列车纵向碰撞的动力学仿真,并将仿真结果与三维碰撞有限元仿真结果进行对比,验证了列车纵向碰撞动力学仿真是列车碰撞仿真研究行之有效的方法。

1 Newmark-β法原理

采用newmark-β法建立列车碰撞纵向动力学二阶常微分非线性方程,如式(1)所示。

newmark-β法引入两个参数γ和β,并假定两个分别表示速度和位移的方程:

将式(2)和(3)联立求解,可用{x}t+△t,{x}t,{}t,{}t来表示{}t+△t和{}t+△t,即有:

而t+△t时刻的运动方程为:

将式(4),(5)代入(6)中,可得:

其中,记等效刚度矩阵为:

等效载荷为:

通过式(7)可求得{x}t+△t,然后通过式(4)、(5)可求得{}t+△t,{}t+△t。

式中,γ和β是两个引入调整积分精度和稳定性的参数。当γ=1/2,β=1/4时,为常平均加速度法;当γ=1/2,β=1/6时,为线性加速度法;当γ=1/2,β=0时,为显示算法,需要条件稳定;当β≥1/2,γ≥0.25(0.5+β)2时,Newmark-β法是一种无条件稳定的格式。

综上,newmark-β法的计算过程如下几步。

(1)初始计算

①根据初始条件及运动方程给出质量矩阵[M]、阻尼矩阵[C]和刚度矩阵[K];

②根据初始条件,给定初始值位移{x}0、速度{}0、加速度{}0;

③选择合适的积分步长△t,参数γ、β;

④求解等效刚度矩阵。

(2)每个时间步的计算

①计算t+△t时刻的等效荷载:

②求解t+△t时刻的位移:

③计算t+△t时刻的速度和加速度:

当选择β≥1/2,γ≥0.25(0.5+β)2时,Newmark-β方法是一种无条件稳定的隐式积分格式,时间步长△t的大小不影响解的稳定性,△t的选择主要根据解的精度确定。

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