太阳影子定位技术在导航、建筑和日常生活中起到了潜移默化的作用,比如手表定位、立竿见影等。本文通过分析视频数据中物体的太阳影子变化,确定视频拍摄的地点和日期,来讨论太阳影子定位技术。文中首先对影子长度关于各个参数的变化,进行数值分析,构建直杆影长实地变化的模型,确定视频中直杆所处的可能地点和日期,利用MATLAB软件编程求解,进而形成对太阳影子定位技术清晰的理论认识。

1 数学模型的确立

1.1 影响因子分析

建立影子长度变化的数学模型,并求出定时定点定长太阳影子长度的变化曲线。分析影子长度,从现实生活直观出发,可以将影长与直杆的长度构成直角三角形,从而将问题归类为解析几何方法的求解,而影子长度的形成以及变化与太阳光的入射方向和地球地平面之间的夹角即太阳高度角[3]有关,因此对于太阳高度角的计算分析是得出影子长度关于各个参数的变化规律结论的必要条件。

1.2 模型的建立

根据开普勒第三定律,地球是在椭圆轨道上绕太阳公转的,对于地球上的某个地点,专业上讲,太阳高度角是指某地太阳光线与通过该地与地心相连的地表切线的夹角,这是以太阳视盘面的几何中心和理想地平线所夹的角度。日升日落,同一地点一天内太阳高度角不仅与当地纬度有关,同时随着地方时和太阳赤纬的变化而不断变化。在现实生活中,时间的计量以地球自转为依据,地球自转一周,计24太阳时,当太阳达到正南处为12:00。钟表所指的时间也称为平太阳时(简称为平时),我国采用东经120度经线上的平太阳时作为全国的标准时间,视频中所给时间9:00-15:00即“北京时间”。太阳赤纬是指太阳直射点的纬度[1],太阳射点即太阳高度角为90度的地点,所在的经线的地方时为正午12时。从1月1日算起建立日期序号,利用所给日期进行时纬公式换算,即可求出近似值。最后根据给定的数据运行MATLAB程序,可得到3米高的直杆的太阳影子长度的变化。

2 模型的假设

2.1 忽略宇宙星体轨迹变化对地球受到太阳光照的影响;

2.2 忽略地球天气变化对影子变化长度的影响;

2.3 假设地球绕太阳的公转是标准的圆形;

2.4 假设地球相对于太阳的自转都是均匀的,太阳时是指平太阳时。

3 问题的求解

3.1 建立影子长度的变化曲线图

由物理学相关知识可知,太阳高度角α的计算公式为:

其中准为当地纬度,δ为太阳赤纬,ω为时角。

(注:切线为地表切线,太阳光线与地表切线形成的夹角为太阳高度角α)

太阳赤纬δ的常用计算公式为

其中为日角。

时角ω的计算公式为(3)其中,Tl为当地时间。

日角(4)

其中n为日期序号,例1月1日为n=1,则10月22日为

建立地球的地平坐标系(图2):坐标原点为O,以垂直于地心的地平线为x轴,以地心与切点的连线为y轴,轴心为O点。假设3米高的直杆位于O点,由三角函数得

其中,s为影子的长度,h为杆长。

由此,由公式(1),(2),(3),(4),(5),利用MATLAB软件编程求解得到2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23

分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线(如图3)。

3.2 确定测量地点的经纬度

求解经度时,以时间为自变量,影长为因变量进行最小二乘拟合,得到的二次拟合函数为

利用MATLAB软件进行计算的误差范围为1.649×10-5。

在影长最短的时候即为该地正午时间,由一元二次函数的

性质可知一天中影长最短的时刻为,即当地正午时间12点对应的北京时间大约为13点。根据时区的划分,