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Introduction of Generative Models

我们已经学到各式各样的,network架构,可以处理不同的X 不同的Y
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接下来我们要进入一个新的主题,这个新的主题是要把network,当做一个generator来用,我们要把network拿来做生成使用

那把network拿来,当作generator使用,他特别的地方是现在network的输入,会加上一个random的variable,会加上一个Z
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这个Z,是从某一个,distribution sample出来的,所以现在network它不是只看一个固定的X得到输出,它是同时看X跟Z得到输出

network怎么同时看X跟Z,有很多不同的做法,就看你怎样设计你的network架构,我们后续会有讨论

Z特别的地方是它是不固定的,每一次我们用这个network的时候,都会随机生成一个Z,所以Z每次都不一样,它是从一个distribution裡面,sample出来的

这个distribution,这边有一个限制是,它必须够简单,够简单的意思是,我们知道它的式子长什麼样子,我们可以从这个distribution,去做sample

我们一般可能会用normal distribution,但实际上经验看来不同的distribution之间的差异,可能并没有真的非常大,不过你还是可以找到一些文献,试著去探讨不同的distribution之间,有没有差异
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所以每次今天,有一个X进来的时候,你都从这个distribution,裡面做一个sample,然后得到一个output,随著你sample到的Z不同,Y的输出也就不一样,所以这个时候我们的network输出,不再是单一一个固定的东西,而变成了一个复杂的distribution,同样的X作為输入,我们这边每次sample到,不一样的东西,通过一个复杂的network转换以后,它就会变成一个复杂的分布,你的network的输出,就变成了一个distribution
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这种可以输出一个distribution的network,我们就叫它generator

Why distribution

在讲怎么训练出generator之前,我们第一个想要回答的问题是,为什么我们需要generator输出是一个分布?输入X输出Y,这样固定的输入跟输出关係不好吗?

那什么时候我们会特别需要,处理这种问题,什么时候,我们会特别需要这种,generator的model,当我们的任务需要一点创造力的时候

任务需要一点创造力这件事情,是比较拟人化的讲法,更具体一点的讲法就是,我们想要找一个function,同样的输入有多种可能的输出,而这些不同的输出都是对的

举例来说假设你选择你的Z,是一个比如说,binary的random variable,它就只有0跟1 那可能各佔50%,也许你的network就可以学到说,Z sample到1的时候就向左转,Z sample到0的时候就向右转,就可以解决,这个世界有很多不可预测的东西,的状况

GeneratIve Adversarial Network(GAN)

generative的model,其中一个非常知名的,就是generative adversarial network,它的缩写 是GAN,那我们这一堂课主要就是介绍,generative adversarial network,发音就是 gàn

Generator

我们现在要举的例子,就是要让机器生成动画人物的,二次元人物的脸,我们举的例子是Unconditional的generation,unconditional generation,就是我们这边先把X拿掉
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我们都假设Z是从一个normal distribution里sample出来的向量,那这个向量通常会是一个,low-dimensional的向量,它的维度其实是你自订的,你自己决定的,那通常你就订个50100,的大小,它是你自己决定的

好你从这边Z,你从这个normal distribution,裡面sample一个向量以后,丢到generator裡面,Generator就给你一个对应的输出,那我们希望对应的输出,就是一个二次元人物的脸

那到底generator要输出怎么样的东西,才会变成一个二次元人物的人脸,其实这个问题没有你想象的那么难

一张图片就是一个非常高维的向量,所以generator实际上做的事就是产生一个非常高维的向量。举例来说,假设这是一个 64 × 64 64\times64 64×64的彩色图片,那你的generator输出就是 64 × 64 × 3 64\times64\times3 64×64×3那么长的向量,把那个向量整理一下,就变成一张二次元人物,这就是generator要做的事

当你输入的向量不同的时候,你的输出就会跟著改变,所以你从这个,normal distribution裡面,Sample Z出来 Sample到不同的Z,那你输出来的Y都不一样,那我们希望说不管你这边sample到什麼Z,输出来的都是动画人物的脸
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Discriminator

在GAN裡面,一个特别的地方就是,除了generator以外,我们要多训练一个东西,叫做discriminator

discriminator它的作用是,它会拿一张图片作为输入,它的输出是一个数值,这个discriminator本身,也是一个neural network,它就是一个function
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它输入一张图片,它的输出就是一个数字,它输出就是一个scalar,这个scalar越大就代表说,现在输入的这张图片,越像是真实的二次元人物的图像

至于discriminator的neural network的架构,这也完全是你自己设计的,所以generator它是个neural network,Discriminator,也是个neural network,他们的架构长什麼样子,你完全可以自己设计,你可以用CNN,你可以用transformer ,只要你能够产生出你要的输入输出,就可以了

那在这个例子里面,像discriminator,因為输入是一张图片,你很显然会选择CNN对不对,CNN在处理影像上有非常大的优势,既然输入是一张图片,那你的discriminator很有可能,里面会有大量的CNN的架构,那至于实际上要用什么样的架构,完全可以自己决定

Basic Idea of GAN

我们还是以刚刚生成二次元头像为例
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第一代的generator它的参数几乎是,它的参数完全是随机的,所以它根本就不知道,要怎麼画二次元的人物,所以它画出来的东西就是一些莫名其妙的杂讯

那discriminator接下来,它学习的目标是要分辨generator的输出跟真正的图片的不同,那在这个例子里面可能非常的容易,对 discriminator 来说它只要看说,图片里面有没有两个黑黑的圆球,就是眼睛,有眼睛就是真正的二次元人物,没有眼睛就是generator产生出来的东西

接下来generator就调整它的裡面的参数,Generator就进化了,它调整它裡面的参数 它调整的目标,是為了要骗过discriminator,假设discriminator,判断一张图片是不是真实的依据,看的是有没有眼睛,那generator就產生眼睛出来,给discriminator看
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所以 generator 产生眼睛出来,然后他可以骗过第一代的, discriminator,但是discriminator也是会进化的,所以第一代的 discriminator,就变成第二代的 discriminator,第二代的 discriminator,会试图分辨这一组图片,跟真实图片之间的差异,它会试图去找出这两者之间的差异

他发现说,这边产生的图片都是比较简单的,举例来说 generator 出来的图片都没有头发也没有嘴巴,而我们的图片是有头发的也有嘴巴

接下来第三代的generator就会想办法去骗过第二代的 discriminator,既然第二代的 discriminator 是看有没有嘴巴来判断是不是真正的二次元人物,那第三代的 generator 就会把嘴巴加上去
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那 discriminator 也会逐渐的进步,他会越来越严苛,然后期待discriminator越来越严苛,Generator产生出来的图片,就可以越来越像二次元的人物,那因为这边有一个generator,有一个discriminator,他们彼此之间是会互动的,是亦敌亦友的关系。
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Algorithm

以下就是正式来讲一下,这个演算法实际上是长什么样子,generator跟discriminator,他们就是两个network

network在训练前,你要先初始化它的参数,所以我们这边就假设说,generator跟discriminator,它们的参数 都已经被初始化了

Step 1: Fix generator G, and update discriminator D

初始化完以后,接下来训练的第一步是,顶住你的generator,只train你的discriminator

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那因为一开始你的generator的参数是随机初始化的,所以你丢一堆向量给它,它的输出都是乱七八糟的图片甚至有可能连图片都产生不出来,那产生出来的就像电视机坏掉的那种杂讯

那你从这个gaussian distribution裡面,去random sample一堆vector,把这些vector丢到generator裡面,它就吐出一些图片 一开始这些图片,会跟正常的二次元人物非常的不像

好那你会有一个database,这个database裡面,有很多二次元人物的头像,这个去网路上爬个图库就有了,从这个图库裡面,去sample一些,二次元人物的头像出来

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接下来你就拿真正的二次元人物头像,跟generator產生出来的结果,去训练你的discriminator,discriminator它训练的目标是要分辨,真正的二次元人物,跟generator产生出来的二次元人物它们之间的差异

讲得更具体一点啊,你实际上的操作是这个样子,你可能会把这些真正的人物都标1,Generator產生出来的图片都标0

接下来对於discriminator来说,这就是一个分类的问题,或者是regression的问题

  • 如果是分类的问题,你就把真正的人脸当作类别1,Generator產生出来的,这些图片当作类别2,然后训练一个classifier就结束了
  • 或者是有人会把它当作regression的问题,那你就教你的discriminator说,看到这些图片你就输出1,看到这些图片你就输出0,都可以 总之discriminator就学著,去分辨这个real的image,跟產生出来的image之间的差异

Step 2: Fix discriminator D, and update generator G

我们训练完,discriminator以后,接下来定住discriminator改成训练generator,怎么训练generator呢

拟人化的讲法是,我们就让generator想办法去骗过discriminator,因為刚才discriminator,已经学会分辨,真图跟假图的差异,真图跟生成的图片的差异,Generator如果可以骗过,discriminator它可以產生一些图片,Discriminator觉得,是真正的图片的话,那generator產生出来的图片,可能就可以以假乱真

它实际上的操作方法是这样子,你有一个generator,generator吃一个向量作為输入,从gaussian distribution sample,出来的向量作為输入,然后产生一个图片

接下来我们把这个图片丢到,Discriminator裡面,Discriminator会给这个图片,一个分数. Discriminator参数是固定的,我们只会调整generator的参数
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Generator训练的目标,是要Discriminator的输出值,越大越好,那因為Discriminator,它本来训练的时候,它训练的目标它可以做的事情就是,看到好的图片就给它大的分数,如果generator可以调整参数之后,输出来的图片Discriminator,会给予高分,那意味著generator产生出来的图片,是比较真实的

接下来就是反覆的训练,discriminator跟generator,训练完discriminator以后,固定住discriminator,训练generator,训练完generator以后,再用generator去產生更多的,新的产生出来的图片,再给discriminator做训练,训练完discriminator以后,再去训练generator,反覆的去执行

Theory behind GAN

Divergence is hard

我们在训练 Network 的时候,你就是要

  • 定一个 Loss Function
  • 定完以后用 Gradient Descent 去调你的参数
  • 去 Minimize 那个 Loss Function 就结束了

在这个 Generation 的问题里面,我们要 Minimize,或者是 Maximize 什么样的东西,我们要把这些事弄清楚,才能够做接下来的事情

我们想要 Minimize 的东西是这个样子的,我们有一个 Generator

  • 给它一大堆的 Vector,给它从 Normal Distribution Sample 出来的东西
  • 丢进这个 Generator 以后,会產生一个比较复杂的 Distribution,这个复杂 Distribution,我们叫它 PG
  • 然后 我们有一堆的 Data,这个是真正的 Data,真正的 Data 也形成了另外一个 Distribution,叫做 Pdata,我们期待 PG 跟 Pdata 越接近越好

于是,对于 P G 和 P d a t a P_G和P_{data} PGPdata我们希望这两个 Distribution 之间的 Divergence(散度)越接近越好
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Divergence 这边指的意思就是,这两个你可以想成是,这两个 Distribution 之间的某种距离

  • 如果这个 Divergence 越大,就代表这两个 Distribution 越不像
  • Divergence越小,就代表这两个 Distribution 越接近
    Divergence就是衡量这两个 Distribution 相似度的一个 Measure

在 Generation 这个问题裡面,我们现在其实也定义了我们的 Loss Function,它就是 PG 跟 Pdata 的 Divergence,就是它们两个之间的距离,它们两个越近,那就代表这个產生出来的 PG 跟 Pdata 越像,所以 PG 跟 Pdata,我们希望它们越相像越好

但是我们这边遇到一个困难的问题
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这个Divergence要怎么算?你可能知道一些 Divergence 的式子, 比如说 KL Divergence, JS Divergence, 这些 Divergence 用在这种 Continues 的 Distribution 上面,这其实是一个你几乎不知道要怎么算的一个积分,那我们根本就无法把这个 Divergence 算出来

GAN是一个很神奇的做法,它可以突破,我们不知道怎麼计算 Divergence 的限制

how to deal with divergence

接下来,GAN 这一整个系列的 Work,就是要告诉你说,怎麼在只有做 Sample 的前提之下,我根本不知道 PG 跟 Pdata,实际上完整的 Formulation 长什麼样子,居然就估测出了 Divergence

那我们刚才讲过说 Discriminator是怎麼训练出来的

  • 我们有一大堆的 Real Data,这个 Real Data 就是从 Pdata Sample 出来的结果
  • 我们有一大堆 Generative 的 Data,Generative 的 Data,就可以看作是从 PG Sample 出来的结果

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根据 Real 的 Data 跟 Generative 的 Data,我会去训练一个 Discriminator,它的训练的目标是

  • 看到 Real Data,就给它比较高的分数
  • 看到这个 Generative 的 Data,就给它比较低的分数

实际以上的过程,你也可以把它写成式子,把它当做是一个 Optimization 的问题,这个 Optimization 的问题是这样子的
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我们现在要找一个 D,它可以 Maximize 这个 Objective Function,这个 Objective Function 长这个样子

  • E y ∽ P d a t a [ l o g D ( y ) ] E_{y\backsim P_{data}}[logD(y)] EyPdata[logD(y)] 我们有一堆 Y, 它是从 Pdata 里面 sample 出来的, 也就是它们是真正的 Image, 而我们把这个真正的 Image 丢到 D 里面, 得到一个分数再取 l o g D ( y ) logD(y) logD(y)
  • E y ∽ P G [ l o g ( 1 − D ( y ) ) ] E_{y\backsim P_{G}}[log(1-D(y))] EyPG[log(1D(y))] 我们有一堆 Y, 它是从 PG 里面 sample 出来的, 把这些图片也丢到 Discriminator 里面,得到一个分数,再取 l o g ( 1 − D ( y ) ) log(1-D(y)) log(1D(y))

我们希望这个 Objective Function V越大越好
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意味著我们希望这边的 D (Y) 越大越好,我们希望 Y 如果是从 Pdata Sample 出来的,它就要越大越好;如果 Y 是从,这个 PG Sample 出来的,它就要越小越好

事实上这个 Objective Function,它就是 Cross Entropy 乘一个负号,我们知道我们在训练一个 Classifier 的时候,我们就是要 Minimize Cross Entropy,所以当我们Maximize Cross Entropy 乘一个负号的时候,其实等同於 Minimize Cross Entropy,也就是等同於是在训练一个 Classifier
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那这边最神奇的地方是这一个式子,这个红框框裡面的数值,它跟 JS Divergence 有关

所以真正神奇的地方就是,这一个 Objective Function 的最大值,它跟 Divergence 是有关的,所以我们刚才说,我们不知道怎麼算 Divergence没关係,Train 你的 Discriminator,Train 完以后,看看它的 Objective Function 可以到多大,那个值就跟 Divergence 有关

这边我们并没有把证明拿出来跟大家讲了,但是我们还是可以从直观上来理解一下,為什麼这个 Objective Function 的值,会跟 Divergence
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假设 PG 跟 Pdata,它的 Divergence 很小. 这个时候Discriminator 就是在 Train 一个,Binary 的 Classifier,对 Discriminator 来说,既然这两堆资料是混在一起的,那就很难分开,这个问题很难,所以你在解这个 Optimization Problem 的时候,你就没有办法让这个 Objective 的值非常地大

如果今天,你的两组 Data 很不像,它们的 Divergence 很大,那对 Discriminator 而言,就可以轻易地把它分开。当 Discriminator 可以轻易把它分开的时候,这个 Objective Function 就可以冲得很大,那所以当你有大的 Divergence 的时候,这个 Objective Function 的 Maximum 的值,就可以很大

这也就从直观上看出 Divergence 跟我们这里 Objective Function 是相关的

所以我们说我们本来的目标是要找一个 Generator,去 Minimize PG 跟 Pdata 的 Divergence
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但我们卡在不知道怎麼计算 Divergence,那我们现在要知道,我们只要训练一个 Discriminator,训练完以后,这个 Objective Function 的最大值,就是这个 Divergence,就跟这个 Divergence 有关

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那我们何不就把红框框裡面这一项,跟 Divergence 做替换,我们何不就把 Divergence,替换成红框框裡面这一项,所以我们就有了这样一个 Objective Function

然后我们要找一个 G,让红框框裡面的值最小,这个 G 就是我们要的 Generator,而刚才我们讲的这个 Generator 跟 Discriminator,互动 互相这个过程,其实就是想解这一个既有 Minimize,又有 Maximize 这个 Min Max的问题,就是透过下面这一个,我们刚才讲的 GAN 的 Argument 来解的

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Tips for GAN

Evaluation of Generative Models

Connditional Generation

什么是 Conditional 的 Generation?

刚才我们讲的 Generator, 到目前为止我们讲的 Generator, 它输入都是一个随机的分布而已, 那这个不见得非常有用
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我们现在想要更进一步的是, 我们可以操控 Generator 的输出, 我们给它一个 Condition x,让它根据 x 跟 z 来产生 y, 那这样的就叫做 Conditional Generation
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那如果我们要做文字对图片的生成, 它其实是一个 Supervised Learning 的问题, 你需要一些 Label 的 Data, 你需要去搜集一些图片,搜集一些人脸,然后这些人脸都要有文字的描述, 告诉我们说,这个是红眼睛,这个是黑头发,这个是黄头发,这个是有 黑眼圈等等,告诉我们这样子,我们要这样的 Label 的资料,才能够训练这种 Conditional 的 Generation

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所以在 Text To Image 这样的任务里面, 我们的 x 就是一段文字, 那你可能问说, 一段文字怎么输入给Generator, 那就要问你自己了,你要怎么做都可以

以前会用 RNN 把它读过去, 然后得到一个向量,再丢到 Generator,今天也许你可以把它丢到一个 Transformer 的 Encoder 里面去,把 Encoder Output 这些向量通通平均起来,丢到 Generator 里面去,怎么样都可以。总之,你只要能够让 Generator 读一段文字就行

那你期待说你输入 Red Eyes,然后,机器就可以画一个红眼睛的角色,但每次画出来的角色都不一样,那这个画出来什么样的角色,取决於什么,取决於你 Sample 到什么样的 z,Sample 到不一样的 z,画出来的角色就不同,但是通通都是红眼睛的,这个就是 Text To Image 想要做的事情

我们现在的 Generator 有两个输入,一个是从 Normal Distribution,Sample 出来的 z,另外一个是 x,也就是一段文字
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那我们的 Generator 会產生一张图片 y,那我们需要一个 Discriminator,那如果按照我们过去所学过的东西,Discriminator,它就是吃一张图片 y 当作输入,输出一个数值,这个数值代表输入的图片,多像真实的图片
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是真实的,还是生成的,那怎么训练这个 Discriminator ,你就说如果看到真实的图片,你就输出 1,如果看到生成的图片,就输出 0,你就可以训练 Discriminator,然后 Discriminator 跟 Generator 反覆训练

也许你就可以去把 Generator 训练出来,但这样的方法,没办法真的解 Conditional GAN 的问题,為什麼,因為如果我们只有 Train 这个 Discriminator,这个 Discriminator 只会看 y 当做输入的话,那 Generator 会学到的是,它会产生可以骗过 Discriminator 的,非常清晰的图片

它会产生清晰的图片,但是跟输入完全没有任何关係,因為对 Generator 来说,它只要產生清晰的图片,就可以骗过 Discriminator 了,它何必要去管 Input 文字叙述是什么
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你的 Discriminator 又不看文字的叙述,所以它根本就不需要管文字的叙述,你不管输入什么文字,就无视这个 x,反正就是产生一个图片,可以骗过 Discriminator 就结束了,但这显然不是我们要的

所以在 Conditional GAN 里面,你要做有点不一样的设计,你的 Discriminator 不是只吃图片 y,它还要吃 Condition x

所以你的 Discriminator,它有 y 作為输入,有 x 作為输入,然后产生一个数值,那这个数值不只是看 y 好不好,光图片好,没有用,光图片好,Discriminator 还是不会给高分

Discriminator 给高分的时候,一方面图片要好,另外一方面,这个图片跟文字的叙述必须要是相配的,Discriminator 才会给高分

那怎么样训练这样的 Discriminator ?

那你需要文字跟影像成对的资料,所以 Conditional GAN,一般的训练,是需要这个 Pair 的 Data 的,是需要有标注的资料的,是需要成对资料的
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有这些成对资料,那你就告诉你的 Discriminator 说,看到这些真正的成对的资料,就给它一分,看到 Red Eyes,但是搭配,可能 Red Eyes 跟机器產生出来的图片,那就是给 0 分,然后训练下去,就可以產生,就可以做到 Conditional GAN

那其实在实作上,光是这样子,拿这样子的 Positive Sample,来训练这样的 Discriminator,其实你得到的结果往往不够好,光是告诉 Discriminator 说,这样子的状况是好的,这样子的状况是不好的,这样是不够的

你还需要加上一种不好的状况是,已经产生好的图片,但是文字叙述配不上的状况

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所以你通常会把你的训练资料拿出来,然后故意把文字跟图片乱配,故意配一些错的,然后告诉你的 Discriminator 说,看到这种状况,你也要说是不好的,用这样子的资料,你才有办法把 Discriminator 训练好,然后 Generator 跟 Discriminator,反覆的训练,你最后才会得到好的结果,这个就是 Conditional GAN

Learning from unpaired data