动态规划--最长上升子序列

最长上升子序列(百练2757)

一个数的序列ai，当a1 < a2 < ... < aS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).。

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

输入数据

输入的第一行是序列的长度N (1 <= N <= 1000)。第二行给出序列中的N个整数，这些整数的取值范围都在0到10000。

输出要求

最长上升子序列的长度。

输入样例

1 7 3 5 9 4 8

输出样例

解题思路

1.找子问题

“求序列的前n个元素的最长上升子序列的长度”是个子问题，但这样分解子问题，不具有“无后效性”，因为假设F(n) = x,但可能有多个序列满足F(n) = x。有的序列的最后一个元素比 an+1小，则加上an+1就能形成更长上升子序列；有的序列最后一个元素不比an+1小……以后的事情受如何达到状态n的影响，不符合“无后效性” ，因此我们必须换一种思路来解决此问题。

“求以ak（k=1, 2, 3…N）为终点的最长上升子序列的长度”，一个上升子序列中最右边的那个数，称为该子序列的 “终点”。虽然这个子问题和原问题形式上并不完全一样，但是只要这N个子问题都解决了，那么这N个子问题的解中，最大的那个就是整个问题的解。

2.确定状态

子问题只和一个变量—— 数字的位置相关。因此序列中数的位置k就是“状态”，而状态 k 对应的“值”，就是以ak做为“终点”的最长上升子序列的长度。状态一共有N个。

3.找出状态转移方程

maxLen (k)表示以ak做为“终点”的

最长上升子序列的长度那么：

初始状态：maxLen (1) = 1

maxLen (k) = max { maxLen (i)：1<=i < k 且 ai < ak且 k≠1 } + 1 若找不到这样的i,则maxLen(k) = 1

maxLen(k)的值，就是在ak左边，“终点”数值小于ak ，且长度最大的那个上升子序列的长度再加1。因为ak左边任何“终点”小于ak的子序列，加上ak后就能形成一个更长的上升子序列。

import java.util.*;
public class Main {

    static int a[];
    static int max[];
    public static int maxf(int a,int b)
    {
        if(a>b)return a;
        else return b;
    }

    public static void main(String[] args) {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int n=in.nextInt();
        a=new int[n+1];
        max=new int[n+1];
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            a[i]=in.nextInt();
        }

        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            max[i]=1;
        }

        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=i;j++)
            {
                if(a[i]>a[j])
                max[i]=maxf(max[i],max[j]+1);
            }
        }

        int res=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            if(res<max[i])
            res=max[i];
        }

        System.out.print(res);
    }


}