2.1 求二进制数中 1 的个数

书上的解法一是最基本的做法，除以 2，求模。

而除以 2 求模，完全可以转换为更快的位运算。这就是解法二，也是我能想到的最好的解法。效率 log2(n)。

没想到，书上还提出了解法 3，我看了三遍，看不懂啥意思。

网上搜了一下，有人给出了容易理解的解释。

这个解释总结一下，就是 v=v&(v-1) 这个表达式，每次都会消除二进制数中最右边的一个 1。所以用来数 1 的个数，要比解法 2 更快。

因为运算的次数只跟 1 的个数有关。比如 10000000，用解法 2 需要 8 次，而解法 3 只要 1 次。

要理解这个方法，可以把数字分三种情况：1 在最右，1 在中间，1 在最左。

1. 如果 1 在最右，v&(v-1) 显然就是把右的 1 去掉了，即 xxxx1 & xxxx0 = xxxx0。
2. 如果 1 在最左， v&(v-1) 就是 10…0 & 01…1，会把最左的 1，也是唯一的 1 去掉了。
3. 如果 1 在中间，也就是最右边的 1 的右边全是0，v&(v-1) 可以看成两部分，1 左边的部分不受影响，1 右边的部分就是上面的第二种情况。xxx100 & xxx011 = xxx000，依然会把这个 1 给消除。

书上的解法四和解法五，思想就是：在数据量不大，而且需要频繁使用的时候，直接把每个输入对应的结果算出来，也就是打表。

解法五是我之前想的，在另一个程序里，把 8 位数的范围对应的 1 的个数算出来，在这个程序里写成数组，直接根据输入来输出结果，O(1) 的效率。

但解法四我没想过，思路虽然和解法五医院，但在有数据的情况下，不打表，而是每次都比较，太不合理。也就是他是这个意思：

if(a==) return ;
else if(a==)return ;
else if(a==) return ;
else if(a==) return ;
...
else if(a==) return ;

缺点就是，极端情况下要比 255 次。还不如前面的做法。

扩展问题：

1. 如果是 32 位，用哪个算法，或者改进哪个？

前三个解法都还行，最多 32 次。第四个解法不行了，极端情况要比较 2^32 次。解法五，如果还是打表，就要开个 2^32 大小的数组，也不好。

解法一用除法比解法二的位运算慢，解法二比解法三的次数一般要多。

所以还是解法三比较好。

至于改进哪个。我想不到前四个算法的改进余地。如果是解法五的话，我可以想到，32 位可以分成 4 个 8 位。然后对 4 个 8 位计数，最后的和就是结果。这个做法其实也可以用在第四个算法上，但我对解法四基本没有改进欲望。

2. 两个正整数 A 和 B，把 A 改为 B，需要改变多少位？

也就是问 A、B 有多少位不同。我觉得先对 A、B 异或吧，相同是 0，不同是 1。得到的结果再去数有多少个 1。C++ 的异或的运算符是，^。

读者反馈：

这部分看不太懂了，下次再看。主要是三个内容：

1. 读者博客
2. hamming_weight 维基百科
3. SSE 4.2 popcnt 指令

2.2 不要被阶乘吓到

这个问题有两个小问：

1. N！末尾多少个 0
2. N! 最低位 1 的位置

第一小问，我开始想的方法是，只看个位，如果乘积的结果个位是0，就计数加1，然后把十位作为个位继续乘下一个数。然而我发现，万一乘以 100，这个方法就不行了。

书上给的是另一个思路，因为 10 的组成是 2 和 5，也就是把 2 和 5 的个数数出来，较小的那个就是 10 的个数，也就是 0 的个数。而 2 要远多于 5，所以只要数 5 的个数。

这就是解法一。

而解法二更秀。直接用 Z = N/5 + N/5^2 + N/5^3… 的思路来做。

因为 n/5，1 到 n 的数里，就是含有 5 的因子的个数，然后 n/=5，继续做 n/5，这其实就是含有 25 的因子的个数，并且其中一个 5 已经算过了，这里是算另一个 5。

第二小问，我开始的想法是，如果要求一个数字最低位的 1，那可以用上一题的做法，先取到他最右的 1。然而对原来的数字异或。接着从右开始往左数，结束。

但这题问的是 N!，所以原来的数字基本得不到。甚至分段来移位都不行，因为数字不一定能存的下来。

书上又给了个我想不到的做法，因为数字最低位的1的位置，等于数字的质因数 2 的个数，加 1。其实也好理解。最低位的 1 右边全是 0，右移几次就是除以 2 几次。问题是这个 N! 要算出来么？不是。

这个题的解法跟第一小问一样，是用计数。依然是用 z = n/2 + n/4 + n/8 + … 的方法来做。z 个2的质因数，加 1 就是最右的 1 的位置。

解法二更厉害，直接理论化：n! 的质因数的 2 的个数，就等于 n - (n 的二进制中 1 的个数)。

例如 n = abcde(a~e 为 0 或者 1），那么

z = abcd + abc + ab + a
= a000+ b00 + c0 + d + a00 + b0 + c + a0 + b + a
= aaaa+ bbb + cc + d

如果 x 为 0 ，则直接消除，若 x 为 1，则 xxx = 1000 - 1。不妨设 a，b 为1，c ，d，e 为 0。也就是 n = 11000

则 z = 10000-1 + 1000 - 1
= 11000 - 2 (n = 11000 有 2 个 1)

若 e 为 1，也就是 n = 11001，

则 z = 10000 - 1+1000-1+1-1
= 11001 - 3(n=11001 有 3 个 1)

所以 n！的 2 的质因数的个数等于 n - ( n 的二进制中 1 的个数)。

相关题目：给定整数 n，判断他是否为 2 的方幂。（提示：n>0&&((n&(n-1))==0)）

2 的方幂是啥意思，2，4，8，16 这样的数？那是不是只要看 n 有几个 1 就行？1 的个数直接用 v&(v-1) 来数。因为只有 1 个 1，必然在最左，因为更左的 0 已经不算了。

好像真的是这样做啊，那跟第二题没啥关系啊，用的还是第一题的思想。

2.3 寻找发帖“水王”

这题我能理解的是先排序，再计数。

如果发帖数大于 1/2，能么在 n/2 位置能找到（数组情况）。

后面的降低问题规模的方法没看懂，特别是代码部分。

扩展问题：3 个人发帖超过 1/4，怎么找 id，我也想不到啥办法。