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牛顿插值公式

    一、均差
 
问题的背景:利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数
lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化,整个公式也将发生变化, 这在实际计算中很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。

    先引进均差的概念。
设函数
f(x)n+1个相异的点x0 ,x1 ,…xn上的函数值分别为:

               
f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
                  
 y0 ,y1 ,…,yn 

    1. 一阶均差:称f(x)关于节点x0 ,x1的一阶均差, 记为f[x0 ,x1 ]

    2. 二阶均差:一阶均差
f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]均差 

       
称为
f(x)关于节点x0 ,x1 ,x2的二阶均差,记为:f[x0 ,x1 ,x2 ]

    3. n阶均差:递归地用n-1阶均差来定义n阶均差, 
      
称为f(x)关于n+1个节点x0 ,x1 ,…,xn均差

    二、均差的性质
    1. 性质1:n阶均差可以表示成n+1个函数值y0 ,y1 ,…,yn 的线性组合, 即:
      
 例:
      
      
    2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
       f[x0 ,x1 ] =f[x1 ,x0 ] , 

       f[x0 ,x1 ,x2 ]=f[x1 ,x0,x2 ]=f[x0 ,x2 ,x1 ]

这一点可以从性质1看出。
    3. 性质3 若f(x)x的n次多项式, 则一阶均差f[x,x0]x的n-1次多项式,二阶均差f[x,x0,x1]x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶均差f[x,x0,…,xk-1 ]x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶均差为零。
    三、利用均差表计算均差
利用均差的递推定义,可以用递推来计算均差。如下表:
   
如要计算四阶均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
       
  xi      1     3     4     7

        f(xi )    0     2     15    12

计算三阶均差f[1,3,4,7]
解:列表计算
       
xi    f(xi )   一阶均差   二阶均差      三阶均差

         1     0
         3     2          1
         4     15         13         4
         7     12         -1        -3.5         -1.25


    四、牛顿插值公式
    1. 牛顿插值公式的构造
因为:
        
所以
        
因为:
        
所以
         
因为:
        
所以 
        
一般地,
        
 
将(
n式)代入(n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得: 
        

最后一项中,均差部分含有
x,乃余项部分,记作Rn(x);而前面n+1项中,均差部分都不含有x,因而前面n+1关于xn次多项式,记作Nn(x),这就牛顿插值公式。于,上式成为

        
f(x)=Nn(x)+Rn(x)

 例如:当
n=1时,
        
其中 
       

这就牛顿一次插值多项式,也就点斜式直线方程。

 当
n=2时,
       
其中
      
这就牛顿二次插值多项式。显然,
N2(x0 )=f(x0 ),
     
N2(x)满足二次插值条件。

例2 已知
     
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
     
则牛顿三次插值多项式为:
     
例3 已知
f(x)在六个点的函数值如下表,运用牛顿型插值多项式 
求f(0.596)的近似值。
 
     

欲求N4(x) ,只需在N3(x)之后再加一项: 
     

      N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。

    2.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
   (1)Pn(x)Nn(x)n次多项式, 且均满足插值条件:

      P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。

由多项式的唯一性,Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项相等的,

即:
     
并由此推得:
     
 (2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。

    五、差分与等距节点插值
插值节点为等距节点:
       xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)

其中h称为步长, 函数y=f(x)xk 的函数值为yk =f(xk )

    1. 差分的概念

    一阶差分:Δyk =yk+1 -yk

    二阶差分: 

一般地,m阶差分用m-1阶差分来定义: 
      
以上定义的前差:从xk 起向前xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差,Δ称为

向前差分算子。而下面定义向后差分, 表示向后差分算子,

     

分别称为一阶,二阶,…,m阶向后差分。

类似地也可定义中心差分如下
     
     2. 差分的性质
 性质1: n阶差分n+1个函数值的线性组合,
     
验证:当n=1时,
     
n=2时,
    
n=3时,
    
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差,也有类似的公式,
 例如:
    
 性质2 在等距插值的情况下, 差分和均差有如下关系:
    
验证: 因为
      xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h 
所以
     

    3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点xk =x0 +kh,记yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当x∈[x0 ,xn ] ,令x=x0 +th ,0≤t≤n. 例如xx2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的均差用差分(性质2的公式)代替,而
       x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,  
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为: 
      
余项为:
     
等距牛顿向前插值公式。

下面来推导等距牛顿向后插值公式:令等距牛顿向后插值公式
       x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
      xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;

     
余项为:
     
例4:设y=f(x)=ex 插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
     

 解:精确值

f(2.2)=e2.2 =9.025011

我们先用等距牛顿向前插

值公式求f(2.2)。此时,

 h=0.5,x=2.2=1+2.4h 

故t=2.4,于 


    

N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项:
   
所以 
     N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855

N4(2.2)时,在N3(2.2) 后加一项:

   
所以
     N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237

     R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264 


 下面我们用等距牛顿向后插值公式求f(2.2). 此时,x=2.2=3-1.6h
t=-1.6,于 
    

N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项:

  
所以 
     N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159

    
所以
     N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747

     R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363 


    一、均差
 
问题的背景:利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式,公式结构紧凑,在理论分析中甚为方便,但当插值节点增减时全部插值基函数lk(x)(k=0,1,…,n)均要随之变化,整个公式也将发生变化, 这在实际计算中很不方便的,为了克服这一缺点,提出了牛顿插值。

    先引进均差的概念。
设函数f(x)n+1个相异的点x0 ,x1 ,…xn 上的函数值分别为:

                f(x0 ),f(x1 ),…,f(xn ),
或者记为
                    y0 ,y1 ,…,yn 

    1. 一阶均差:称f(x)关于节点x0 ,x1 的一阶均差, 记为f[x0 ,x1 ]

    2. 二阶均差:一阶均差f[x0 ,x1 ],f[x1 ,x2 ]均差 

       
称为f(x)关于节点x0 ,x1 ,x2 的二阶均差,记为:f[x0 ,x1 ,x2 ]

    3. n阶均差:递归地用n-1阶均差来定义n阶均差, 
      
称为f(x)关于n+1个节点x0 ,x1 ,…,xn均差

    二、均差的性质
    1. 性质1:n阶均差可以表示成n+1个函数值y0 ,y1 ,…,yn 的线性组合, 即:
      
 例:
      
      
    2. 性质2(对称性) 均差与节点的顺序无关:
       f[x0 ,x1 ] =f[x1 ,x0 ] , 

       f[x0 ,x1 ,x2 ]=f[x1 ,x0,x2 ]=f[x0 ,x2 ,x1 ]

这一点可以从性质1看出。
    3. 性质3 若f(x)x的n次多项式, 则一阶均差f[x,x0]x的n-1次多项式,二阶均差f[x,x0,x1]x的n-2次多项式;一般地,函数f(x)的k阶均差f[x,x0,…,xk-1 ]x的n-k次多项式(k≤n), 而k>n时, k阶均差为零。
    三、利用均差表计算均差
利用均差的递推定义,可以用递推来计算均差。如下表:
   
如要计算四阶均差,应再增加一个节点,表中还要增加一行。
例1:已知
          xi      1     3     4     7

        f(xi )    0     2     15    12

计算三阶均差f[1,3,4,7]
解:列表计算
        xi    f(xi )   一阶均差   二阶均差      三阶均差

         1     0
         3     2          1
         4     15         13         4
         7     12         -1        -3.5         -1.25


    四、牛顿插值公式
    1. 牛顿插值公式的构造
因为:
        
所以
        
因为:
        
所以
         
因为:
        
所以 
        
一般地,
        
 
将(n式)代入(n-1式), ...,(2式)代入(1式),(1式)代入(0式),得: 
        

最后一项中,均差部分含有x,乃余项部分,记作Rn(x);而前面n+1项中,均差部分都不含有x,因而前面n+1关于xn次多项式,记作Nn(x),这就牛顿插值公式。于,上式成为

         f(x)=Nn(x)+Rn(x)

 例如:当n=1时,
        
其中 
       

这就牛顿一次插值多项式,也就点斜式直线方程。

 当n=2时,
       
其中
      
这就牛顿二次插值多项式。显然,N2(x0 )=f(x0 ) ,
     
N2(x)满足二次插值条件。

例2 已知
     
求满足以上插值条件的牛顿型插值多项式。
解 在例1中, 我们已计算出:
     
则牛顿三次插值多项式为:
     
例3 已知f(x)在六个点的函数值如下表,运用牛顿型插值多项式 
求f(0.596)的近似值。
 
     

欲求N4(x) ,只需在N3(x)之后再加一项: 
     

      N4(0.596)=0.6319145+0.0000034=0.6319179 。

    2.拉格朗日插值与牛顿插值的比较
   (1)Pn(x)Nn(x)n次多项式, 且均满足插值条件:

      P(xk )=Nn(xk )=f(xk ),k=0,1,2,…,n 。

由多项式的唯一性,Pn(x)≡Nn(x) ,因而,两个公式的余项相等的,

即:
     
并由此推得:
     
 (2)当插值多项式从n-1次增加到n次时,拉格朗日型插值必须重新计算所有的基本插值多项式;而对于牛顿型插值,只需用表格再计算一个n阶均差,然后加上一项即可。

    五、差分与等距节点插值
插值节点为等距节点:
       xk =x0 +kh,(k=0,1,…,n)

其中h称为步长, 函数y=f(x)xk 的函数值为yk =f(xk )

    1. 差分的概念

    一阶差分:Δyk =yk+1 -yk

    二阶差分: 

一般地,m阶差分用m-1阶差分来定义: 
      
以上定义的前差:从xk 起向前xk+1 ,xk+2 ,… 的函数值的差,Δ称为

向前差分算子。而下面定义向后差分, 表示向后差分算子,

     

分别称为一阶,二阶,…,m阶向后差分。

类似地也可定义中心差分如下
     
     2. 差分的性质
 性质1: n阶差分n+1个函数值的线性组合,
     
验证:当n=1时,
     
n=2时,
    
n=3时,
    
一般地,可用数学归纳法证明此公式。对于后差,也有类似的公式,
 例如:
    
 性质2 在等距插值的情况下, 差分和均差有如下关系:
    
验证: 因为
      xk+1-xk = h, xk+2-xk = 2h 
所以
     

    3. 等距节点的牛顿插值公式
设等距节点xk =x0 +kh,记yk =f(xk ),(k=0,1,…,n) 。当x∈[x0 ,xn ] ,令x=x0 +th ,0≤t≤n. 例如xx2 ,x3 的中点时, x=x0 +2.5h. 将牛顿插值公式中的均差用差分(性质2的公式)代替,而
       x-xk =(x0 +th)-(x0 +kh)=(t-k)h,  
从而, 牛顿插值公式在等距插值节点下的形式为: 
      
余项为:
     
等距牛顿向前插值公式。

下面来推导等距牛顿向后插值公式:令等距牛顿向后插值公式
       x=xn+th (-n≤t≤0),
这时
      xn-k =xn -kh, x-xn-k =(t+k)h;

     
余项为:
     
例4:设y=f(x)=ex 插值节点为 x=1,1.5,2,2.5,3相应的函数值如下
1表, 求f(2.2)。
     

 解:精确值

f(2.2)=e2.2 =9.025011

我们先用等距牛顿向前插

值公式求f(2.2)。此时,

 h=0.5,x=2.2=1+2.4h 

故t=2.4,于 


    

N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项:
   
所以 
     N3(2.2) = N2(2.2)+0.16623=9.03855

N4(2.2)时,在N3(2.2) 后加一项:

   
所以
     N4(2.2)=N3(2.2)-0.01618=9.02237

     R2=0.15269 , R3=-0.01354 ,R4=0.00264 


 下面我们用等距牛顿向后插值公式求f(2.2). 此时,x=2.2=3-1.6h
t=-1.6,于 
    

N3(2.2)时,在N2(2.2) 后加一项:

  
所以 
     N3(2.2)=N2(2.2)+0.07831=9.01159

    
所以
     N4(2.2)=N3(2.2)+0.0107847=9.0223747

     R2=0.091731 , R3=0.013421 ,R4=0.0026363