在图形识别方面,主成分分析(Principal Comonents Analysis,PCA)算是比较快速而且又准确的方式之一,它可以对抗图形平移旋转的事件发生,并且藉由主要特征(主成分)投影过后的资料做资料的比对,在多个特征资讯里面,取最主要的K个,做为它的特征依据,在这边拿前面共变数矩阵的数据来做沿用,主成分分析使用的方法为计算共变数矩阵,在加上计算共变数矩阵的特征值及特征向量,将特征值以及所对应的特征向量排序之后,取前面主要K个特征向量当做主要特征,而OpenCV也可以对高维度的向量进行主成分分析的计算
数据原始的分布情况,红点代表着它的平均数
将座标系位移,以红点为主要的原点
计算共变数矩阵以及共变数的特征值以及特征向量,将特征向量排序后投影回原始资料的结果的结果,也就是说,对照上面的图片,EigenVector的作用是找到主轴后,将原本的座标系做旋转了 
再来就是对它做投影,也就是降低维度的动作,将Y轴的数据全部归零,投影在X轴上
投影完之后,在将它转回原本的座标系 
PCA主成分分析,与线性回归有异曲同工之妙,也就是说,这条投影过后的直线,可以称做回归线,当它在做主轴旋转的时候,所投影的结果为最小均方误,在将它转置回来的时候,就形成了一条回归直线了
OpenCV的PCA输入必须要是单通道32位元浮点数格式或是单通道64位元浮点数格式的,参数为CV_32FC1或是CV_64FC1,程式写法如下
PCA程式实作
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
float Coordinates[ 20 ]={ 1 . 5 , 2 . 3 ,
3 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 2 , 2 . 9 ,
2 . 1 , 2 . 2 ,
3 . 1 , 3 . 1 ,
1 . 3 , 2 . 7 ,
2 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 0 , 2 . 0 ,
0 . 5 , 0 . 6 ,
1 . 0 , 0 . 9 };
void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols); void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols);
int main()
{
CvMat *Vector1;
CvMat *AvgVector;
CvMat *EigenValue_Row;
CvMat *EigenVector;
Vector1=cvCreateMat( 10 , 2 ,CV_32FC1);
cvSetData(Vector1,Coordinates,Vector1->step);
AvgVector=cvCreateMat( 1 , 2 ,CV_32FC1);
EigenValue_Row=cvCreateMat( 2 , 1 ,CV_32FC1);
EigenVector=cvCreateMat( 2 , 2 ,CV_32FC1);
cvCalcPCA(Vector1,AvgVector,EigenValue_Row,EigenVector,CV_PCA_DATA_AS_ROW);
printf( "Original Data:\n" ); printf( "Original Data:\n" );
PrintMatrix(Vector1, 10 , 2 );
printf( "==========\n" );
PrintMatrix(AvgVector, 1 , 2 );
printf( "\nEigne Value:\n" );
PrintMatrix(EigenValue_Row, 2 , 1 );
printf( "\nEigne Vector:\n" );
PrintMatrix(EigenVector, 2 , 2 );
system( "pause" );
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols) void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols)
{
for ( int i= 0 ;i<Rows;i++)
{
for ( int j= 0 ;j<Cols;j++)
{
printf( "%.2f " ,cvGet2D(Matrix,i,j).val[ 0 ]);
}
printf( "\n" );
}
}
执行结果:
这部份是把平均数,共变数矩阵,以及特征值及特征向量都计算出来了,全部都包在cvCalcPCA()的函式里面,因此可以不必特地的用cvCalcCovarMatrix()求得共变数矩阵,也不需要再由共变数矩阵套用cvEigenVV()求得它的EigenValue以及EigenVector了,所以说,cvCalcPCA()=cvCalcCovarMatrix()+cvEigenVV(),不仅如此,cvCalcPCA()使用上更是灵活,当向量的维度数目比输入的资料那的时候(例如Eigenface),它的共变数矩阵就会自动转成CV_COVAR_SCRAMBLED,而当输入资料量比向量维度大的时候,它亦会自动转成CV_COVAR_NORMAL的形态,而OpenCV也提供了计算投影量cvProjectPCA(),以及反向投影的函式cvBackProjectPCA(),cvCalcPCA()的计算结果如下
详细计算方法可以参考"OpenCV统计应用-共变数矩阵"以及"OpenCV线性代数-cvEigenVV实作"这两篇,cvCalcPCA()第一个引数为输入目标要计算的向量,整合在CvMat资料结构里,第二个引数为空的平均数向量,第三个引数为输出排序后的EigenValue,以列(Rows)为主的数值,第四个引数为排序后的EigenVector,第五个引数为cvCalcPCA()的参数,它的参数公式如下
#define CV_PCA_DATA_AS_ROW 0
#define CV_PCA_DATA_AS_COL 1 #define CV_PCA_DATA_AS_COL 1
#define CV_PCA_USE_AVG 2 #define CV_PCA_USE_AVG 2
分别代表以列为主,以栏为主的参数设定,以及使用自己定义的平均数,CV_PCA_DATA_AS_ROW与CV_PCA_DATA_AS_COL的参数不可以同时使用,而对于主成分分析的EigenVector对原始资料投影的程式范例如下
PCA特征向量投影
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
float Coordinates[ 20 ]={ 1 . 5 , 2 . 3 ,
3 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 2 , 2 . 9 ,
2 . 1 , 2 . 2 ,
3 . 1 , 3 . 1 ,
1 . 3 , 2 . 7 ,
2 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 0 , 2 . 0 ,
0 . 5 , 0 . 6 ,
1 . 0 , 0 . 9 };
void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols); void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols);
int main()
{
CvMat *Vector1;
CvMat *AvgVector;
CvMat *EigenValue_Row;
CvMat *EigenVector;
Vector1=cvCreateMat( 10 , 2 ,CV_32FC1);
cvSetData(Vector1,Coordinates,Vector1->step);
AvgVector=cvCreateMat( 1 , 2 ,CV_32FC1);
EigenValue_Row=cvCreateMat( 2 , 1 ,CV_32FC1);
EigenVector=cvCreateMat( 2 , 2 ,CV_32FC1);
cvCalcPCA(Vector1,AvgVector,EigenValue_Row,EigenVector,CV_PCA_DATA_AS_ROW);
cvProjectPCA(Vector1,AvgVector,EigenVector,Vector1);
printf( "Project Original Data:\n" );
PrintMatrix(Vector1, 10 , 2 );
system( "pause" );
}
void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols) void PrintMatrix(CvMat *Matrix, int Rows, int Cols)
{
for ( int i= 0 ;i<Rows;i++)
{
for ( int j= 0 ;j<Cols;j++)
{
printf( "%.2f " ,cvGet2D(Matrix,i,j).val[ 0 ]);
}
printf( "\n" );
}
}
执行结果：
cvProjectPCA(),它的公式定义如下
因此,它所呈现的结果就是将座标旋转后的特征向量投影,cvProjectPCA()的地一个引数为输入原始向量资料,第二个引数为输入空的(或是以设定好的)平均数向量,第三个引数为输入以排序好的特征向量EigenVector,第四个引数为输出目标投影向量,而投影之外,OpenCV还可以给他做反向投影回原始的资料
PCA反向投影
#include <cv.h>
#include <highgui.h>
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
float Coordinates[ 20 ]={ 1 . 5 , 2 . 3 ,
3 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 2 , 2 . 9 ,
2 . 1 , 2 . 2 ,
3 . 1 , 3 . 1 ,
1 . 3 , 2 . 7 ,
2 . 0 , 1 . 7 ,
1 . 0 , 2 . 0 ,
0 . 5 , 0 . 6 ,
1 . 0 , 0 . 9 };
int main()
{
CvMat *Vector1; CvMat *Vector1;
CvMat *AvgVector; CvMat *AvgVector;
IplImage *Image1,*Image2;
Image1=cvCreateImage(cvSize( 450 , 450 ),IPL_DEPTH_8U, 3 );
Image1->origin= 1 ;
Image2=cvCreateImage(cvSize( 450 , 450 ),IPL_DEPTH_8U, 3 );
Image2->origin= 1 ;
Vector1=cvCreateMat( 10 , 2 ,CV_32FC1);
cvSetData(Vector1,Coordinates,Vector1->step);
AvgVector=cvCreateMat( 1 , 2 ,CV_32FC1);
CvMat *EigenValue_Row=cvCreateMat( 2 , 1 ,CV_32FC1);
CvMat *EigenVector=cvCreateMat( 2 , 2 ,CV_32FC1);
cvCalcPCA(Vector1,AvgVector,EigenValue_Row,EigenVector,CV_PCA_DATA_AS_ROW);
cvProjectPCA(Vector1,AvgVector,EigenVector,Vector1);
printf("投影后的向量：");PrintMat(Vector1);
//对投影后的向量画图
for ( i= 0 ;i< 10 ;i++)
{
cvCircle(Image2,cvPoint(( int )(cvGetReal2D(Vector1,i, 0 )*100+cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 )*300)%400,
( int )(cvGetReal2D(Vector1,i, 1 )*100+cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 )*300)%400), 0 ,CV_RGB( 0 , 0 , 255 ), 10 ,CV_AA, 0 );
printf( "\n" );
}
cvCircle(Image2,cvPoint(( int )((cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 ))* 100 ),( int )((cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 ))* 100 )), 0 ,CV_RGB( 255 , 0 , 0 ), 10 ,CV_AA, 0 ); //中心点
cvLine(Image2,cvPoint(0,( int )cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 )*100),
cvPoint(Image2->width,( int )cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 )*100),CV_RGB( 255 , 0 , 0 ),2,8,0 );
cvLine(Image2,cvPoint(( int )(cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 )*100),Image2->height),
cvPoint(( int )(cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 )*100),0),CV_RGB( 255 , 0 , 0 ),2,8,0 );
//两个cvline画出了以均值为中心的坐标轴。*300 %400 *100 的目的是为了放大数据以及化为正数。因为投影后的原始数据绝大部分为负值，需要调整。
此时就会显示出上面提到的第三个图。其它的照样做就可以了
执行结果:
而反向投影,只不过是将投影向量还原成原始资料罢了,可以用来做为新进资料反向投影后用来比对的步骤,以下是它的计算公式推导
cvBackProjectPCA()的引数输入与cvProjectPCA()是一样的,只不过是里面的计算公式不同,其实也只是cvProjectPCA()的反运算
cvCalcPCA()
计算多笔高维度资料的主要特征值及特征向量,先自动判断维度大于资料量或维度小于资料量来选择共变数矩阵的样式,在由共变数矩阵求得已排序后的特征值及特征向量,cvCalcPCA()函式的参数为CV_PCA_DATA_AS_ROW以列为主的资料排列,CV_PCA_DATA_AS_COL以行为主的资料排列,CV_PCA_USE_AVG自行定义平均数数据,CV_PCA_DATA_AS_ROW以及CV_PCA_DATA_AS_COL不可以同时使用,cvCalcPCA( )的第一个引数为输入CvMat维度向量资料结构,第二个引数为输入空的CvMat平均数向量资料结构(或是自行定义平均数向量),第三个引数为输入以列为主的特征值CvMat资料结构,第四个引数为输入特征向量CvMat资料结构,第四个引数为输入cvCalcPCA()函式的参数
cvCalcPCA(输入目标向量资料CvMat资料结构,输入或输出向量平均数CvMat资料结构,输入以列为主EigenValue的CvMat资料结构,输入EigenVector的CvMat资料结构,目标参数或代号)
cvProjectPCA()
将计算主成分分析的结果做投影的运算,主要作用是将最具意义的k个EgienVector与位移后的原始资料做矩阵乘法,投影过后的结果将会降低维度,cvProjectPCA()第一个引数为输入CvMat资料结构原始向量资料数据,第二个引数为输入CvMat资料结构平均数向量,第三个引数为输入要降维的特征向量,第四个引数为输出CvMat资料结构原始资料投影的结果
cvProjectPCA(输入CvMat原始向量数据资料结构,输入CvMat原始向量平均数资料结构,输入CvMat降低维度的特征向量资料结构,输出CvMat投影向量资料结构)
cvBackProjectPCA()
将投影向量转回原始向量维度座标系,cvProjectPCA()第一个引数为输入CvMat资料结构投影向量数据,第二个引数为输入CvMat资料结构平均数向量,第三个引数为输入特征向量,第四个引数为输出CvMat资料结构反向投影的结果
cvProjectPCA(输入CvMat投影向量资料结构,输入CvMat原始向量平均数资料结构,输入CvMat特征向量资料结构,输出CvMat反向投影资料结构)
cvBackProjectPCA(Vector1,AvgVector,EigenVector,Vector1);
printf( "Back Project Original Data:\n" ); printf( "Back Project Original Data:\n" );
for ( int i= 0 ;i< 10 ;i++)
{
printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(Vector1,i, 0 ));
printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(Vector1,i, 1 ));
cvCircle(Image1,cvPoint(( int )(cvGetReal2D(Vector1,i, 0 )* 100 ),( int )(cvGetReal2D(Vector1,i, 1 )* 100 )), 0 ,CV_RGB( 0 , 0 , 255 ), 10 ,CV_AA, 0 );
printf( "\n" );
}
cvCircle(Image1,cvPoint(( int )((cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 ))* 100 ),( int )((cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 ))* 100 )), 0 ,CV_RGB( 255 , 0 , 0 ), 10 ,CV_AA, 0 );
printf( "==========\n" );
printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 )); printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 0 ));
printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 )); printf( "%.2f " ,cvGetReal2D(AvgVector, 0 , 1 ));
cvNamedWindow( "Coordinates" , 1 );
cvShowImage( "Coordinates" ,Image1);
cvWaitKey( 0 );
}